Задание 1. Медиана \( BM \) и биссектриса \( AP \) треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \( K \), длина стороны \( AC \) втрое больше длины стороны \( AB \). Найдите отношение площади треугольника \( ABK \) к площади четырехугольника \( KPCM \).

Задание 2. Точки \( D \) и \( K \) лежат на сторонах \( AC \) и \( BC \) треугольника \( \Delta ABC \), при этом \( \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{2}{5} \) и \( \dfrac{AK}{KC} = \dfrac{3}{2} \). В каком отношении прямая \( BK \) делит \( AD \)?

Задание 3. В \( \Delta ABC \) на стороне \( BC \) выбрана точка \( D \) так, что \( BD : DC = 1 : 2 \). Медиана \( CE \) треугольника \( ABC \) пересекает отрезок \( AD \) в точке \( F \). Какую часть площади треугольника \( ABC \) составляет площадь треугольника \( AEF \)?

Задание 4. В треугольнике \(\Delta ABC\) проведены биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$, которые пересекаются в точке $O$. Биссектрисы внешних углов при вершинах $\angle B$ и $\angle C$ пересекаются в точке $K$, которая лежит внутри угла $\angle A$. Найдите $\angle A$ и $\angle BKC$,если известно, что:

• а) \(\angle BOC = 100^\circ\)
• б) \(\angle BOC = \alpha\).

Дополнительный вопрос. Чему равна сумма углов $\angle BKC+\angle BOC=$ ?

Задание 5. В треугольнике \(\Delta ABC\) проведены биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$, которые пересекаются в точке $O$. Биссектрисы внешних углов при вершинах $\angle B$ и $\angle C$ пересекаются в точке $K$, которая лежит внутри угла $\angle A$. Найдите $\angle BKC$ и $\angle BOC$,если известно, что:

• а) $\angle A = 70^\circ$
• б) $\angle A = \alpha $

Дополнительный вопрос. Чему равна сумма углов $\angle BKC+\angle BOC=$ ?

Задание 6. В треугольнике \(\Delta ABC\) проведены биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$, которые пересекаются в точке $O$. Биссектрисы внешних углов при вершинах $\angle B$ и $\angle C$ пересекаются в точке $K$, которая лежит внутри угла $\angle A$. Найдите $\angle A$ и $\angle BOC$,если известно, что:

• а) $\angle BKC = 80^\circ$
• б) $\angle BKC = \alpha$

Дополнительный вопрос. Чему равна сумма углов $\angle BKC+\angle BOC=$ ?

Задание 7. В некотором тупоугольном треугольнике \(TBC\) угол \(T\) является тупым. Известно, что продолжения высот \(BB_1\), \(CC_1\) треугольника \(TBC\) пересекаются в одной точке \(H\), причем известно, что угол \(BHC\) равен \(60^\circ\). В данном треугольнике проведены биссектрисы \(TF\), \(BK\), \(CN\). Найдите угол \(NFK\).