Задание 1. От прямой линии, проходящей через точки пересечения медиан и биссектрис тупоугольного треугольника, двумя его сторонами отсекается отрезок длиной на \( \mathit{1\,} \text{см} \) меньше, чем одна из длин сторон данного треугольника. Найдите наименьшую из возможных длин сторон этого треугольника, если их длины выражаются натуральными числами (в \( \text{см} \)) и образуют арифметическую прогрессию.

Задание 2. В треугольнике \( \angle\mathcal{ABC} \) с отношением сторон \( \mathcal{AB} : \mathcal{AC} = \mathit{5\,} : \mathit{4\,} \) биссектриса угла \( \mathcal{BAC} \) пересекает сторону \( \mathcal{BC} \) в точке \( \mathcal{L} \). Найдите длину отрезка \( \mathcal{AL} \), если длина вектора \( \mathit{4\,} \cdot \overrightarrow{\mathcal{AB}} + \mathit{5\,} \cdot \overrightarrow{\mathcal{AC}} \) равна \( \mathit{2016\,} \).

Задание 3. На ребре \( \mathcal{BB}_1 \) правильной треугольной призмы \( \mathcal{ABCA}_1 \mathcal{B}_1 \mathcal{C}_1 \) выбрана точка \( \mathcal{Q} \) так, что центр сферы, описанной около пирамиды \( \mathcal{QAA}_1 \mathcal{C}_1 \), лежит в грани \( \mathcal{AA}_1 \mathcal{C}_1 \mathcal{C} \). Известно, что радиус сферы, описанной около пирамиды \( \mathcal{QABC} \), равен \( \mathit{2\,} \), а ребро основания призмы равно \( \sqrt{\mathit{3\,}} \). Найдите отношение объёма пирамиды \( \mathcal{QAA}_1 \mathcal{C}_1 \) к объёму призмы.

Задание 4. Кузнечик прыгает на \( \mathit{10\,} \text{см} \) вправо с вероятностью \( p = \mathit{0.8\,} \) и влево с вероятностью \( q = \mathit{0.2\,} \). Какова вероятность того, что на каком-то шаге кузнечик окажется справа от исходной точки на расстоянии \( \mathit{10\,} \text{см} \)?

Задание 5. Андрей выбирает случайным образом целое число \( \mathrm{a} \) из отрезка \([-\mathit{5\,}; \mathit{6\,}]\) и после этого решает уравнение \[ \mathit{3\,} \mathrm{x}^\mathit{3\,} - (\mathit{3\,} \mathrm{a} - \mathit{4\,}) \mathrm{x}^\mathit{2\,} - (\mathit{2\,} \mathrm{a} - \mathit{3\,}) \mathrm{x} + \mathrm{a} + \mathit{2\,} = \mathit{0\,}. \] Найдите вероятность того, что Андрей получит три различных корня, из которых как минимум два будут целыми, если точно известно, что при вычислениях он не ошибается.

Задание 6. Решите уравнение \[ \mathrm{x} + \log_\mathit{2\,} \mathrm{x} - \log_\mathit{3\,} \mathrm{x} + \log_\mathit{4\,} \mathrm{x} - \mathit{7\,} = \left( \dfrac{\mathit{3\,}}{\mathit{4\,}} - \log_\mathit{3\,} \sqrt{\mathit{2\,}} \right) \cdot \log_\mathit{2\,} \mathit{49\,}. \]

Задание 7. Вычислите \[ \log_\mathit{2\,} \log_\mathit{8\,} \sqrt{\underbrace{\sqrt{\ldots \sqrt{\mathit{64\,}}}}_{\mathit{64\,} \text{корня}}} \]

Задание 8. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) \) в точке \( \mathrm{x}_\mathit{0\,} = \mathit{1\,} \) и положительным направлением оси \( \mathcal{Ox} \), где \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) = \mathrm{g}(\mathrm{h}(\mathrm{i}(\mathrm{j}(\mathrm{k}(\mathrm{l}(\mathrm{m}(\mathrm{n}(\mathrm{o}(\mathrm{p}(\mathrm{q}(\mathrm{x})))))))))) \). Пусть:

• \( \mathrm{q}(\mathrm{x}) = \mathrm{x}^\mathit{2\,} + \mathit{3\,} \)
• \( \mathrm{p}(\mathrm{x}) = \sin(\pi + \mathrm{x} - \mathit{4\,}) \)
• \( \mathrm{o}(\mathrm{x}) = e^{\mathrm{x}} \)
• \( \mathrm{n}(\mathrm{x}) = \ln(e + \mathrm{x} - \mathit{1\,}) \)
• \( \mathrm{m}(\mathrm{x}) = \dfrac{\mathit{1\,}}{\mathrm{x}} \)
• \( \mathrm{l}(\mathrm{x}) = \mathrm{x}^\mathit{3\,} - \mathrm{x} \)
• \( \mathrm{k}(\mathrm{x}) = \sqrt{\mathrm{x} + \mathit{3\,}} \)
• \( \mathrm{j}(\mathrm{x}) = \operatorname{arctg}(\mathrm{x}) \)
• \( \mathrm{i}(\mathrm{x}) = \mathit{2\,} \cos(\mathrm{x}) \)
• \( \mathrm{h}(\mathrm{x}) = \mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{2\,} \mathrm{x} + \mathit{1\,} \)
• \( \mathrm{g}(\mathrm{x}) = \mathit{2\,} \mathrm{x} - \mathit{1\,} \)

Задание 9. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \( \mathcal{U} = \mathcal{U}_\mathit{0\,} \sin(\omega t + \varphi) \), где \( t \) – время в секундах, амплитуда \( \mathcal{U}_\mathit{0\,} = \mathit{2\,} \text{В} \), частота \( \omega = \mathit{120\,}^\circ/\text{с} \), фаза \( \varphi = -\mathit{30\,}^\circ \). Датчик настроен так, что если напряжение в нем не ниже чем \( \mathit{1\,} \text{В} \), загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Задание 10. Стороны основания кирпича равны \( \mathit{28\,} \text{см} \) и \( \mathit{9\,} \text{см} \), а высота \( \mathit{6\,} \text{см} \). Улитка ползёт прямолинейно по граням кирпича из вершины нижнего основания в противоположную вершину верхнего основания. Горизонтальная и вертикальная составляющие её скорости \( \mathrm{v}_\mathrm{x} \) и \( \mathrm{v}_\mathrm{y} \) связаны соотношением \( \mathrm{v}_\mathrm{x}^\mathit{2\,} + \mathit{4\,} \mathrm{v}_\mathrm{y}^\mathit{2\,} = \mathit{1\,} \) (например, на верхней грани \( \mathrm{v}_\mathrm{y} = \mathit{0\,} \text{см/мин} \), поэтому \( \mathrm{v}_\mathrm{x} = \mathrm{v} = \mathit{1\,} \text{см/мин} \)). Какое наименьшее время может затратить улитка на своё путешествие?

Задание 11. Про функцию \( \mathrm{y} = \mathrm{f}(\mathrm{x}) \) известно, что она определена и непрерывна на всей числовой прямой, нечётна и периодична с периодом \( \mathit{5\,} \), а также что \( \mathrm{f}(-\mathit{1\,}) = \mathrm{f}(\mathit{2\,}) = -\mathit{1\,} \). Какое наименьшее число корней может иметь уравнение \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) = \mathit{0\,} \) на отрезке \([\mathit{1755\,}; \mathit{2017\,}]\)?

Задание 12. Про функцию \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) \) и некоторое положительное число \( \mathrm{c} \) известно, что \[ \mathrm{f}(\mathrm{x} + \mathrm{c}) = \dfrac{\sqrt{\mathit{3\,}} \mathrm{f}(\mathrm{x}) + \mathit{1\,}}{\sqrt{\mathit{3\,}} - \mathrm{f}(\mathrm{x})} \] при всех значениях \( \mathrm{x} \). При каком наименьшем целом значении \( \mathit{k} \) из интервала \( (\mathit{25\,}; \mathit{50\,}) \) можно утверждать, что \( \mathrm{f}(\mathrm{x} + \mathit{kc}) = \mathrm{f}(\mathrm{x}) \) при всех \( \mathrm{x} \)?

Задание 13. Решите уравнение \[ \mathit{9\,}^{\arcsin(\mathit{2\,} \mathrm{x} + \mathit{1\,})} + \log_\mathit{3\,} \left( \mathit{2\,} \arcsin(\mathit{2\,} \mathrm{x} + \mathit{1\,}) \right) - \mathit{3\,}^{\arccos(\mathit{6\,} \mathrm{x} + \mathit{3\,})} + \log_\mathit{3\,} \left( \arccos(\mathit{6\,} \mathrm{x} + \mathit{3\,}) \right) = \mathit{0\,}. \]

• а) Найдите все корни уравнения.
• б) Отберите корни из отрезка \(\left[ -\dfrac{\mathit{43\,} \pi}{\mathit{11\,}}, e^{\mathit{2025\,}} \right]\).

Задание 14. На рёбрах \( \mathcal{AC}, \mathcal{BC}, \mathcal{BS}, \mathcal{AS} \) правильной треугольной пирамиды \( \mathcal{SABC} \) с вершиной \( \mathcal{S} \) выбраны точки \( \mathcal{K}, \mathcal{L}, \mathcal{M}, \mathcal{N} \) соответственно. Известно, что точки \( \mathcal{K}, \mathcal{L}, \mathcal{M}, \mathcal{N} \) лежат в одной плоскости, причём \( \mathcal{KL} = \mathcal{MN} = \mathit{2\,} \), \( \mathcal{KN} = \mathcal{LM} = \mathit{18\,} \). В четырёхугольнике \( \mathcal{KLMN} \) расположены две окружности \( \Omega_1 \) и \( \Omega_2 \), причём окружность \( \Omega_1 \) касается сторон \( \mathcal{KN} \) и \( \mathcal{LM} \), а окружность \( \Omega_2 \) касается сторон \( \mathcal{KN}, \mathcal{LM} \) и \( \mathcal{MN} \). Прямые круговые конусы \( \mathcal{F}_1 \) и \( \mathcal{F}_2 \) с основаниями \( \Omega_1 \) и \( \Omega_2 \) соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина \( \mathcal{P} \) конуса \( \mathcal{F}_1 \) лежит на ребре \( \mathcal{AB} \), а вершина \( \mathcal{Q} \) конуса \( \mathcal{F}_2 \) лежит на ребре \( \mathcal{CS} \).

• а) Найдите \( \angle \mathcal{SAB} \).
• б) Найдите длину отрезка \( \mathcal{CQ} \).

Задание 15. Найдите все решения неравенства \[ \left( \log_{\pi/\mathit{6\,}} (\mathit{2\,} \mathrm{x} - \mathit{5\,}) - \log_{\pi/\mathit{6\,}} (\mathit{7\,} - \mathit{2\,} \mathrm{x}) \right) \left( \cos \left( \mathrm{x} + \dfrac{\mathit{7\,}}{\mathit{4\,}} \right) - \cos (\mathit{2\,} \mathrm{x} - \mathit{1\,}) \right) \left( |\mathrm{x} - \mathit{4\,}| - |\mathit{2\,} \mathrm{x} - \mathit{5\,}| \right) \geq \mathit{0\,}. \]

Задание 16. Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в \mathit{4\,} раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от \mathit{16\,} тысяч рублей до \mathit{20\,} тысяч рублей, а цена акции из третьего пакета не меньше \mathit{42\,} тысяч рублей и не больше \mathit{60\,} тысяч рублей. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.

Задание 17. Пусть \( \mathcal{X} \) — такая точка внутри треугольника \( \mathcal{ABC} \), что \[ \mathcal{XA} \cdot \mathcal{BC} = \mathcal{XB} \cdot \mathcal{AC} = \mathcal{XC} \cdot \mathcal{AB}; \] \( \mathcal{I}_1, \mathcal{I}_2, \mathcal{I}_3 \) — центры вписанных окружностей треугольников \( \mathcal{XBC}, \mathcal{XCA} \) и \( \mathcal{XAB} \) соответственно. Докажите, что прямые \( \mathcal{AI}_1, \mathcal{BI}_2 \) и \( \mathcal{CI}_3 \) пересекаются в одной точке.

б) Дан фиксированный треугольник \( \mathcal{ABC} \). Пусть \( \mathcal{D} \) — произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в \( \mathcal{D} \), проходящая через \( \mathcal{A} \), пересекает вторично прямые \( \mathcal{AB} \) и \( \mathcal{AC} \) в точках \( \mathcal{A_b} \) и \( \mathcal{A_c} \) соответственно. Аналогично определяются точки \( \mathcal{B_a}, \mathcal{B_c}, \mathcal{C_a} \) и \( \mathcal{C_b} \). Точку \( \mathcal{D} \) назовём хорошей, если точки \( \mathcal{A_b}, \mathcal{A_c}, \mathcal{B_a}, \mathcal{B_c}, \mathcal{C_a} \) и \( \mathcal{C_b} \) лежат на одной окружности. Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника \( \mathcal{ABC} \)?

Задание 18. Найдите все значения параметра \( \mathrm{a} \), при каждом из которых уравнение \[ \operatorname{arctg} \left( (\mathit{3\,} \mathrm{a} - \mathit{1\,}) \sin^\mathit{2\,} \mathrm{x} - (\mathit{3\,} \mathrm{a}^\mathit{3\,} - \mathrm{a}^\mathit{2\,} + \mathit{3\,} \mathrm{a} - \mathit{1\,}) \sin \mathrm{x} + \operatorname{tg} (\mathrm{a} \mathrm{x} - \mathrm{a} \pi) \right) - \mathrm{a} \mathrm{x} + \mathrm{a} \pi = \mathit{0\,} \] имеет ровно три решения.

Задание 19.

• а) Последовательность \( \mathrm{a}_\mathit{1\,}, \mathrm{a}_\mathit{2\,}, \ldots, \mathrm{a}_\mathit{2022\,} \) такова, что \( \mathrm{a}_\mathit{n} - \mathrm{a}_\mathit{k} \geq \mathrm{n}^\mathit{3\,} - \mathrm{k}^\mathit{3\,} \) для любых \( \mathrm{n} \) и \( \mathrm{k} \) таких, что \( \mathit{1\,} \leq \mathrm{n} \leq \mathit{2022\,} \) и \( \mathit{1\,} \leq \mathrm{k} \leq \mathit{2022\,} \). При этом \( \mathrm{a}_\mathit{1011\,} = \mathit{0\,} \). Какие значения может принимать \( \mathrm{a}_\mathit{2022\,} \)?
• б) Произведение цифр натурального числа \( \mathrm{n} \) равно \( \mathrm{x} \), а произведение цифр числа \( \mathrm{n} + \mathit{1\,} \) равно \( \mathrm{y} \). Может ли оказаться, что произведение цифр некоторого натурального числа \( \mathrm{m} \) равно \( \mathrm{y} - \mathit{1\,} \), а произведение цифр числа \( \mathrm{m} + \mathit{1\,} \) равно \( \mathrm{x} - \mathit{1\,} \)?
• в) В вершинах правильного \(\mathit{100\,}\)-угольника поставили \(\mathit{100\,}\) фишек, на которых нанесены номера \( \mathit{1\,}, \mathit{2\,}, \ldots, \mathit{100\,} \), именно в таком порядке по часовой стрелке. За один ход разрешается поменять местами некоторые две фишки, стоящие в соседних вершинах, при условии, что номера этих фишек различаются не более чем на \( \mathit{k} \). При каком наименьшем \( \mathit{k} \) серией таких ходов можно добиться расположения, в котором каждая фишка передвинута на одну позицию по часовой стрелке (по отношению к своему начальному положению)?