Вспомогательные факты, на которые нужно будет ссылаться при решении заданий с 1 по 11. Аксио́ма, или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства. Три аксиомы стереометрии А1,А2,А3:
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
A3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Задание 1. Постройте сечение куба \( \mathcal{T}\mathcal{R}\mathcal{F}\mathcal{J}\mathcal{T}_1\mathcal{R}_1\mathcal{F}_1\mathcal{J}_1 \) плоскостью, проходящей через ребро \( \mathcal{F}\mathcal{F}_1 \) и точку пересечения диагоналей грани \( \mathcal{T}\mathcal{T}_1\mathcal{J}_1\mathcal{J} \). Найдите периметр построенного сечения, если ребро куба равно \( 2 \, \text{см} \).
Задание 2. Прямые \( a \) и \( b \) параллельны, точка \( \mathcal{T} \) не лежит на этих прямых. Через точку \( \mathcal{T} \) проведите плоскость \( \alpha \), параллельную каждой из данных прямых.
Задание 3. Лежат ли прямые \( a \), \( b \) и \( c \) в одной плоскости, если прямые \( a \) и \( b \), \( a \) и \( c \), \( b \) и \( c \) пересекаются и точки их пересечения не совпадают? Ответ объясните.
Задание 4. Плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) пересекаются, точка \( \mathcal{T} \) не лежит в этих плоскостях. В плоскости \( \alpha \) проведите прямую, проходящую через точку \( \mathcal{T} \) и параллельную плоскости \( \beta \).
Задание 5. Верно ли утверждение: прямая, пересекающая одну из расположенных в пространстве параллельных прямых, пересекает и другую прямую? Ответ объясните.
Задание 6. Можно ли утверждать, что:
Задание 7. Могут ли две различные плоскости иметь только одну общую точку?
Задание 8. Можно ли утверждать, что любая прямая, которая пересекает каждую из двух данных пересекающихся прямых, лежит в плоскости, проходящей через эти прямые?
Задание 9. Плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) пересекаются по прямой \( a \). В плоскости \( \beta \) проведена прямая \( b \), пересекающая плоскость \( \alpha \). Докажите, что точка пересечения прямой \( b \) и плоскости \( \alpha \) принадлежит прямой \( a \).
Задание 10. Плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) пересекаются по прямой \( m \). Плоскость \( \gamma \) пересекает плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) соответственно по прямым \( a \) и \( b \), пересекающимся в точке \( \mathcal{T} \). Докажите, что точка \( \mathcal{T} \) принадлежит прямой \( m \).
Задание 11. Можно ли утверждать, что через прямую и две точки, не принадлежащие ей, можно провести плоскость?
Задание 12. Докажите, что через две произвольные точки можно провести хотя бы одну плоскость.
Задание 13. Точки \( \mathcal{T} \), \( \mathcal{R} \), \( \mathcal{F} \) и \( \mathcal{J} \) не лежат в одной плоскости. Докажите, что каждые три из них не лежат на одной прямой.