Задание 1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

• а) \( q = -\frac{1}{2}, b_1 = \frac{1}{8} \)
• б) \( q = \frac{1}{3}, b_5 = \frac{1}{81} \)
• в) \( q = -\frac{1}{3}, b_1 = 9 \)
• г) \( q = -\frac{1}{2}, b_4 = \frac{1}{8} \)

Задание 2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

• а) \( 6, 1, \frac{1}{6}, \ldots \)
• б) \( -25, -5, -1, \ldots \)

Задание 3. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

• а) \( q = \frac{1}{2}, b_5 = \frac{\sqrt{2}}{16} \)
• б) \( q = \frac{\sqrt{3}}{2}, b_4 = \frac{9}{8} \)

Задание 4. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна \(30\). Найти:

• а) \( b_1 \), если \( q = \frac{1}{5} \)
• б) \( q \), если \( b_1 = 20 \)

Задание 5. Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой \(n\)-го члена:

• а) \( b_n = -5 \cdot 2^n \)
• б) \( b_n = 2^{3n} \)

Задание 6. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если:

• а) \( b_4 = 88, q = 2 \)
• б) \( b_1 = 11, b_4 = 88 \)

Задание 7. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей:

• а) \( 1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \ldots \)
• б) \( 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \ldots \)
• в) \( -27, -9, -3, \ldots \)
• г) \( -64, -32, -16, \ldots \)

Задание 8. Вычислить:

• а) \( 2^{2 - 3 \sqrt{5}} \cdot 8 \sqrt{5} \)
• б) \( 3^{1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{3}} : 9^{\frac{3}{2}} \)
• в) \( (5^{1 + \sqrt{2}})^{1 - \sqrt{2}} \)
• г) \( (5^{1 - \sqrt{5}})^{1 + \sqrt{5}} - (\sqrt{5})^0 \)
• д) \( 2^{1 - 2 \sqrt{2}} \cdot 4 \sqrt{2} \)
• е) \( 3^{2 - 3 \sqrt{3}} \cdot 27^{\sqrt{3}} \)
• ж) \( 9^{1 + \sqrt{3}} \cdot 3^{1 - \sqrt{3}} \cdot 3^{-2 - \sqrt{3}} \)
• з) \( 4^{3 + \sqrt{2}} \cdot 2^{1 - \sqrt{2}} \cdot 2^{-4 - \sqrt{2}} \)
• и) \( \dfrac{10^{2 + \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}} \cdot 5^{1 + \sqrt{7}}} \)
• к) \( \dfrac{6^{3 + \sqrt{5}}}{2^{2 + \sqrt{5}} \cdot 3^{1 + \sqrt{5}}} \)