Задание 1. Андрей коллекционирует монеты (у него в коллекции ровно \(500\) монет). Отправлясь в путешествие он думает - взять монеты или не взять. Если он решится взять, то ему нужно определиться - сколько именно монет взять и какие именно. Сколько различных вариантов у него есть сделать выбор? (нужно учесть, что монеты разные). Сделайте задачу двумя различными способами. В ответ нужно записать формулу, которая позволит рассчитать нужное количество монет.
Задание 2. (такое задание было, но может будут новые идеи у Вас, учитывая задание 6). Упростите выражение, не вычисляя каждое число сочетаний отдельно:
\(C_{500}^0+C_{500}^1+C4_{500}^2+C_{500}^3+C_{500}^4+...+C_{500}^{499}+C_{500}^{500}=?\)
Задание 3. Сколько различных последовательностей можно составить, используя буквы слова "АААВВВ", если буквы "А" и "В" неразличимы между собой?
Задание 4. Сколько различных последовательностей можно составить, используя буквы слова "АААВВВССС", если буквы "А" и "В" и "С" неразличимы между собой?
Задание 5. Егор имеет привычку всегда надевать носки только разного цвета. Он купил 3 пары носков. Носки, как назло, в каждой паре одного цвета. В первой паре оба носка красного, во второй - зеленого, в третьей - синего. Егор захотел надеть носки, согласно своей привычке. Сколько способов выбрать из 3 пар носков пару носков, чтобы цвета не повторялись?
Задание 6. Для участия в соревнованиях по шахматам рассматриваются в качестве кандидатов 6 человек из одного учебного класса, среди которых 3 девочки и 3 мальчика. Учительница разбила участников на пары так, что в каждой паре девочка играет против мальчика. После первого тура (3 игры) победившие отправляются на соревнования. Оказалось, что на соревнования поехали 2 девочки и 1 мальчик. Сколькими способами можно было выбрать 2 девочек и 1 мальчика для участия в соревнованиях, учитывая тот факт, что изначальное распределение участников отборочных игр и их соперников нельзя менять?
Задание 7. Раскройте скобки \( (a+b)^3 \). Приведите подобные слагаемые. Какой коэффициент получился при \( ab^2 \)? Представим, что \( (a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b) \). Из каждой скобки мы будем выбирать ровно одну букву \( a \) или \( b \). Сколько способов выбрать ровно одну скобку с \( b \), чтобы в остальных выбралась \( a \) по остаточному приципу?
Задание 8. Раскройте скобки \( (a+b)^4 \). Приведите подобные слагаемые. Какой коэффициент получился при \( a^2b^2 \)? Представим, что \( (a+b)^4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b) \). Из каждой скобки мы будем выбирать ровно одну букву \( a \) или \( b \). Сколько способов выбрать ровно одну скобку две скобки с \( b \)? (скобки с \(a\) определятся сами по остаточному принципу)
Задание 9. Для участия в соревнованиях по шахматам рассматриваются в качестве кандидатов 8 человек из одного учебного класса, среди которых 4 девочки и 4 мальчика. Учительница разбила участников на пары так, что в каждой паре девочка играет против мальчика. После первого тура (4 игры) победившие отправляются на соревнования. Оказалось, что на соревнования поехали 2 девочки и 2 мальчика. Сколькими способами можно было выбрать 2 девочки и 2 мальчика для участия в соревнованиях, учитывая тот факт, что изначальное распределение участников отборочных игр и их соперников нельзя менять?
Задание 10. Петя берет 2 разноцветные карточки. На одной стороне каждой карточки он пишет букву \(a\), а на другой стороне - букву \(b\). Затем Петя раскладывает карточки на столе, показывая только одну сторону каждой карточки (верхнюю сторону). Сколькими способами можно разложить карточки, чтобы на верхней стороне 1 карточки была буква \(a\) и на верхней стороне второй карточки была буква \(b\)?
Задание 11. Петя берет 4 разноцветные карточки. На одной стороне каждой карточки он пишет букву \(a\), а на другой стороне - букву \(b\). Затем Петя раскладывает карточки на столе, показывая только одну сторону каждой карточки (верхнюю сторону). Сколькими способами можно разложить карточки, чтобы на верхней стороне 2 карточек была буква \(a\) и на верхней стороне оставшихся двух карточек была буква \(b\)?
Задание 12. Есть ли какая-то взаимосвязь между задачами 7 и 4? А между 5 и 4?