Задание 1. Вычислить несобственный интеграл \( \displaystyle\int_{\mathit{1\,}}^{+\infty} \mathrm{x e}^{-\mathrm{x}} \, d\mathrm{x} \). (4 балла)

Задание 2. Вычислить несобственный интеграл $\displaystyle\int_{\mathit{e}^{\mathit{3\,}}}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x} \cdot \ln \mathrm{x} \cdot \left(\ln \left( \ln \mathrm{x} \right) \right)^{\mathit{2\,}}}\,.$

Задание 3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл $\displaystyle\int_{\mathit{0}}^{\mathit{1}} \dfrac{\mathrm{dx}}{\sqrt{\left( \mathit{1} - \mathrm{x}^{\mathit{2}} \right)^{\mathit{3}}}}. \;\;$

Задание 4. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

$\displaystyle\int_{\mathit{1\,}}^{+\infty} \left( \mathrm{x}^\mathit{3\,} + \ln \mathrm{x} + \sin \mathrm{x} \right) \left( e^{\sqrt{\mathrm{x^{-7}}}} - \mathit{1\,} \right) \, \mathrm{dx}$

Задание 5. Исследуйте на сходимость несобственный интеграл:

$\displaystyle\int_{\mathit{1\,}}^{+\infty} \left( \sqrt[\mathit{3\,}]{\mathit{1\,} + \dfrac{\mathit{1\,}}{\mathrm{x}^\mathit{3\,}}} - \mathit{1\,} \right) \sqrt{\mathrm{x}^\mathit{3\,}} \, \mathrm{dx}$

Задание 6. Исследовать на сходимость несобственный интеграл $\displaystyle\int_{\mathit{2\,}}^{+\infty} \dfrac{\mathit{2\,}^\frac{1}{\sqrt{x}} - \mathit{1}}{\sqrt[3]{x^2} - \sqrt{x} + \mathit{1}} dx$.

Задание 7. Решите дифференциальное уравнение:

• \( \mathrm{x}\mathrm{y} \, \mathrm{dx} + (\mathrm{x} + \mathit{1\,}) \, \mathrm{dy} = \mathit{0\,} \).

Задание 8. Решите дифференциальное уравнение:

• \( \sqrt{\mathrm{y}^\mathit{2\,} + \mathit{1\,}} \, \mathrm{dx} = \mathrm{x}\mathrm{y} \, \mathrm{dy} \).

Задание 9. Решите дифференциальное уравнение с начальным условием:

• \( (\mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{1\,})\mathrm{y}' + \mathit{2\,}\mathrm{x}\mathrm{y}^\mathit{2\,} = \mathit{0\,} \), \(\mathrm{y}(\mathit{0\,}) = \mathit{1\,}\).

Задание 10. Решите дифференциальное уравнение с начальным условием:

• \( \mathrm{x}\mathrm{y}' + \mathrm{y} = \mathrm{y}^\mathit{2\,} \), \(\mathrm{y}(\mathit{1\,}) = \mathit{0.5\,}\).

Задание 11. Решите дифференциальное уравнение:

• \( \mathit{2\,}\mathrm{x}^\mathit{2\,}\mathrm{y}\mathrm{y}' + \mathrm{y}^\mathit{2\,} = \mathit{2\,} \).

Задание 12. Решите дифференциальное уравнение:

• \( e^{-\mathit{s\,}}\left(\mathit{1\,} + \dfrac{ \mathit{ds} }{ \mathit{dt} }\right) = \mathit{1\,} \).

Задание 13. Решите дифференциальное уравнение:

• \( \mathrm{z}' = \mathit{10\,}^{\mathrm{x} + \mathrm{z}} \).

Задание 14. Решите дифференциальное уравнение:

• \( (\mathrm{x} - \mathrm{y}) \, \mathrm{dx} + (\mathrm{x} + \mathrm{y}) \, \mathrm{dy} = \mathit{0\,} \).

Задание 15. Решите дифференциальное уравнение:

• \( \mathit{2\,}\mathrm{x}^\mathit{3\,} \mathrm{y}' = \mathrm{y}(\mathit{2\,}\mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathrm{y}^\mathit{2\,}) \).

Задание 16. Решите дифференциальное уравнение:

• \( \mathrm{y}^\mathit{2\,} + \mathrm{x}^\mathit{2\,} \mathrm{y}' = \mathrm{x} \mathrm{y} \mathrm{y}' \).

Задание 17. Решите дифференциальное уравнение:

• \( (\mathrm{x}^\mathit{2\,} + \mathrm{y}^\mathit{2\,}) \mathrm{y}' = \mathit{2\,}\mathrm{x}\mathrm{y} \).

Задание 18. Решите дифференциальное уравнение:

• \( \mathrm{x}\mathrm{y}' - \mathrm{y} = \mathrm{x} \operatorname{tg} \dfrac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}} \).