Задание 1. Найти градиент функции \( z = f(x,y) \) и его модуль для функции в указанных точках \( M \):

1. \( z = 17 - 4x^2 - y^2 \); \( M(2;2) \)
2. \( z = xye^{2+4x+y} \); \( M(0;-1) \)
3. \( z = \sin(2x + 5y^2) \); \( M \left( \dfrac{\pi}{2}; \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \right) \)

Задание 2. Найти первый дифференциал и величину градиента функции в точке \( M(x_0, y_0, z_0) \):

1. \( f(x,y,z) = \dfrac{4}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \); \( M(1,2,1) \)
2. \( f(x,y,z) = x^2y^2z^2 \); \( M(1,1,1) \)

Задание 3. Найти производные функций по заданным направлениям \( l \):

1. \( z = x^4 - 5xy + y^2 \); \( l \) составляет с осью \( Ox \) угол \( 60^\circ \)
2. \( z = 2x + y^2 \); \( l \) — биссектриса первого координатного угла
3. \( z = 15x^4 - x - y - 1 \) в точке \( M(2;1) \); \( l \) — прямая \( MN \), где \( N(5;5) \)

Задание 4. Дана функция \( u = x^2 y^2 z + 3yz - 4x^2z \), где \( x = 2t^2 \), \( y = t + 1 \), \( z = \ln(t + 1) \). Вычислить производную \( u'(t) \) в точке \( t_0 = 1 \).

Задание 5. Найти \( \dfrac{dz}{dt} \), если \( z = z(x;y) \), \( x = x(t) \), \( y = y(t) \):

1. \( z = x^2 + y^2 + xy \), \( x = a \sin t \), \( y = a \cos t \)
2. \( z = \cos(2t + 4x^2 - y) \), \( x = \dfrac{1}{t} \), \( y = \sqrt{\dfrac{t}{\ln t}} \)
3. \( z = x^2 y^3 u \), \( x = t \), \( y = t^2 \), \( u = \sin t \)
4. \( z = e^{xy} \ln(x + y) \), \( x = t^3 \), \( y = 1 - t^3 \)

Задание 6. Для данных \( z = f(x;y) \), \( x = x(u;v) \), \( y = y(u;v) \) найти \( \dfrac{\partial z}{\partial u} \), \( \dfrac{\partial z}{\partial v} \) и \( dz \):

1. \( z = x^3 + y^3 \), где \( x = uv \), \( y = \dfrac{u}{v} \)
2. \( z = \sqrt{x^2 - y^2} \), где \( x = u^v \), \( y = u \ln v \)
3. \( z = \cos(xy) \), где \( x = ue^v \), \( y = v \ln u \)
4. \( z = \operatorname{arctg}(xy) \), где \( x = \sqrt{u^2 + v^2} \), \( y = u - v \)
5. \( z = \sqrt{x + y} \), где \( x = u \operatorname{tg} v \), \( y = u \operatorname{ctg}v \)
6. \( z = \ln \sqrt{x^2 + 3y^5} \), где \( x = u \cos v \), \( y = u \sin v \)