Задача 1. В деревне \(A\) живет \(50\) школьников, в деревне B живет \(100\) школьников. Расстояние между деревнями \(3\) километра. В какой точке дороги из \(A\) в \(B\) надо построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, было как можно меньше?

Задача 2. Докажите, что прямая, проходящая через середины боковых сторон равнобедренного треугольника, параллельна основанию.

Задача 3. Две параллельные прямые пересечены третьей. Найдите угол между биссектрисами внутренних односторонних углов.

Задача 4. Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются под углом \(110^\circ\).Найдите третий угол треугольника.

Задача 5. Один из углов треугольника равен \(\alpha\). Найдите угол между биссектрисами двух других углов.

Задача 6. Один из углов треугольника равен \(\alpha\). Найдите угол между высотами, проведенными из вершин двух других углов.

Задача 7. Высоты остроугольного треугольника \( ABC \), проведённые из вершин \( A \) и \( B \), пересекаются в точке \( H \), причём \( \angle AHB = 120^\circ \), а биссектрисы, проведённые из вершин \( B \) и \( C \), — в точке \( K \), причём \( \angle BKC = 130^\circ \). Найдите угол \( ABC \).

Задача 8. Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпендикулярны?

Задача 9. Докажите, что биссектрисы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении \(2 : 1\), считая от вершины треугольника.

Задача 10. В прямоугольном треугольнике один из углов равен \(30^\circ\). Докажите, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведенного к гипотенузе через ее середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.