Задание 1. На основании \( \mathcal{AC} \) и боковой стороне \( \mathcal{BC} \) равнобедренного треугольника \( \mathcal{ABC} \) вовне него построили квадраты \( \mathcal{ACDE} \) и \( \mathcal{CBFK} \). Докажите, что \( \mathcal{BE} = \mathcal{AK} \).

Задание 2. На сторонах \( \mathcal{AB} \) и \( \mathcal{BC} \) треугольника \( \Delta\mathcal{ABC} \) взяли соответственно точки \( \mathcal{M} \) и \( \mathcal{K} \). Отрезки \( \mathcal{AK} \) и \( \mathcal{CM} \) пересекаются в точке \( \mathcal{O} \). Известно, что \( \mathcal{AO} = \mathcal{CO} \), \( \mathcal{MO} = \mathcal{KO} \). Докажите, что треугольник \( \Delta\mathcal{ABC} \) равнобедренный.

Задание 3. На основании \( \mathcal{AC} \) равнобедренного треугольника \( \mathcal{ABC} \) взяли произвольную точку \( \mathcal{O} \). Через неё провели прямую, которая пересекла сторону \( \mathcal{AB} \) в точке \( \mathcal{P} \), а продолжение стороны \( \mathcal{BC} \) в точке \( \mathcal{Q} \). Оказалось, что \( \mathcal{O} \) — середина отрезка \( \mathcal{PQ} \). Докажите, что \( \mathcal{AP} = \mathcal{CQ} \).

Задание 4. Стороны \( \mathcal{AB} \) и \( \mathcal{CD} \) четырёхугольника \( \mathcal{ABCD} \) равны \( \mathrm{a} \) и \( \mathrm{b} \). Известно, что \( \angle \mathcal{ABD} + \angle \mathcal{BDC} = \mathit{180\,}^{\circ} \), \( \angle \mathcal{ADB} + \angle \mathcal{CBD} = \angle \mathcal{BCD} \). Найдите \( \mathcal{AD} \).