Задание 1. Вычислите интеграл:

$\displaystyle \displaystyle\int \dfrac{e^{\mathrm{x}} \, d\mathrm{x}}{e^{\mathit{2}\mathrm{x}} + \mathit{1}}$

Задание 2. Вычислите интеграл:

\(\displaystyle \int \dfrac{\mathit{2\,}\mathrm{x}+\mathit{3\,}}{(\mathrm{x}-\mathit{1\,})(\mathrm{x}-\mathit{2\,})} \, d\mathrm{x}\)

Задание 3. Вычислите интеграл:

\(\displaystyle \int \dfrac{\mathrm{x}-\mathit{5\,}}{\mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{4\,}} \, d\mathrm{x}\)

Задание 4. Вычислите интеграл:

\(\displaystyle \int \dfrac{\mathrm{x}+\mathit{7\,}}{(\mathrm{x}-\mathit{2\,})(\mathrm{x}+\mathit{3\,})} \, d\mathrm{x}\)

Задание 5. Вычислите интеграл:

$\displaystyle \displaystyle\int \mathrm{x} \cos \mathrm{x} \, d\mathrm{x}$

Задание 6. Вычислите интеграл:

\(\displaystyle \int \dfrac{\mathit{5\,}\mathrm{x}-\mathit{2\,}}{(\mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathrm{x} - \mathit{6\,})(\mathrm{x} + \mathit{1\,})} \, d\mathrm{x}\)

Задание 7. Вычислите интеграл:

\(\displaystyle \int \dfrac{\mathit{3\,}\mathrm{x}+\mathit{8\,}}{(\mathrm{x}-\mathit{2\,})(\mathrm{x}^\mathit{2\,} + \mathrm{x} + \mathit{1\,})} \, d\mathrm{x}\)

Задание 8. Вычислите интеграл:

$\displaystyle \int_{\mathit{1}}^\mathit{3\,} \dfrac{ \mathrm{d}\mathrm{x} }{\sqrt{-\mathrm{x}^\mathit{2\,} + \mathit{4\,}\mathrm{x} - \mathit{3\,}}}$

Задание 9. Вычислите интеграл:

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{ \mathrm{d}\mathrm{x} }{\sqrt{\mathrm{x}^\mathit{2\,} + \mathit{4\,}\mathrm{x} + \mathit{5\,}}}$

Задание 10. Вычислите интеграл:

$\displaystyle \int \dfrac{ (\mathit{4\,}\mathrm{x}^\mathit{2\,}+\mathit{7\,})\mathrm{d}\mathrm{x} }{\mathit{2\,}\mathrm{x}^\mathit{2\,} + \mathit{11\,}}$

Задание 11. Вычислить несобственный интеграл \( \displaystyle \int\limits_{\mathit{0}}^{\mathit{1/8}} \dfrac{\mathit{1}}{\mathit{x}^{\mathit{2/3}}\cdot \sqrt{\mathit{1} - \mathrm{x}^{\mathit{2/3}}}} \, \mathrm{d} \mathrm{x}\).

Задание 12. Вычислить несобственный интеграл \( \displaystyle\int_{\mathit{1\,}}^{+\infty} \mathrm{x e}^{-\mathrm{x}} \, d\mathrm{x} \).

Задание 13. Вычислить несобственный интеграл $\displaystyle\int_{\mathit{e}^{\mathit{3\,}}}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x} \cdot \ln \mathrm{x} \cdot \left(\ln \left( \ln \mathrm{x} \right) \right)^{\mathit{2\,}}}\,.$

Задание 14. Найти длину дуги кривой \( y = \mathit{4\,}\arcsin \sqrt{x} + \mathit{4\,}\sqrt{x - x^2} \), \(\;\; \dfrac{\mathit{1}}{\mathit{9}} \leqslant x \leqslant \mathit{1\,} \).

Задание 15. Используя формулу \({V_Y} = \mathit{2\,}\pi \displaystyle \int_{\mathit{a}}^{\mathit{b}} \mathrm{x}\mathrm{y} \, \mathrm{d}\mathrm{x} \), найдите объём тела,

полученного вращением вокруг оси \( \mathit{Oy} \) фигуры, ограниченной кривыми \( y = \dfrac{\mathit{1\,}}{x^2 ( \mathit{1\,} + \ln^2 x)} \), \( y = \mathit{0\,} \), \( x = \mathit{1\,} \), \( x = e \).