Таблица интегралов здесь: здесь.

Таблица производных здесь: здесь.

Задание 1. Вычислить определенный интеграл:

$ \displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1} (\arccos x)^{2} \, dx. $

Задание 2. Вычислить определенный интеграл:

$ \displaystyle \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \sin^{2} x \, dx. $

Задание 3. Исследовать на сходимость интеграл:

$ \displaystyle \displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{x \, \operatorname{arcctg} x}{\sqrt{2 + x^{4}}} \, dx. $

P.S. Здесь нужно будет учесть тот факт, что $0<\operatorname{arcctg} x<\pi $, а также $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\operatorname{arcctg} x = 0$

Задание 4. Исследовать на сходимость интеграл:

$ \displaystyle \displaystyle\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \dfrac{dx}{1 - \cos x}. $

Задание 5. Исследовать на сходимость интеграл:

$ \displaystyle \displaystyle\int_{0}^{7} \dfrac{\cos x}{\sqrt[5]{7 - x}} \, dx. $

Для решения следующих задач нужно будет знать вот эту теорию по ссылке здесь.

Задание 6. Исследовать на сходимость несобственный интеграл \( \displaystyle\int_{\mathit{0}}^{\mathit{1}} \dfrac{\ln (\mathit{1} + \mathit{3}\mathrm{x})}{\mathrm{x}^\mathit{6/5}} \, \mathrm{d}\mathrm{x} \). (4 балла)

Задание 7. Исследовать на сходимость несобственный интеграл $\displaystyle\int_{\mathit{0}}^{\mathit{1}} \dfrac{\mathrm{dx}}{\sqrt{\left( \mathit{1} - \mathrm{x}^{\mathit{2}} \right)^{\mathit{3}}}}. \;\;$ (\(\mathit{3}\) балла)

Задание 8. Исследовать на сходимость несобственный интеграл \( \displaystyle\int_{\mathit{1}}^{+\infty} \dfrac{(\mathrm{x}^\mathit{2} + \mathit{3}\mathrm{x}) \mathrm{e}^{\mathit{1}/\mathrm{x}}}{\sqrt{\mathrm{x}^\mathit{5} + \mathit{4}\mathrm{x} - \mathit{2}}}\mathrm{d}\mathrm{x} \). (4 балла)

Задание 9. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

$\displaystyle\int_{\mathit{1\,}}^{+\infty} \left( \mathrm{x}^\mathit{3\,} + \ln \mathrm{x} + \sin \mathrm{x} \right) \left( e^{\sqrt{\mathrm{x^{-7}}}} - \mathit{1\,} \right) \, \mathrm{dx}$

Задание 10. Найти длину дуги кривой \( y = \sqrt{\mathit{1\,} - x^2} + \arcsin x \), \( \mathit{0\,} \leq x \leq \mathit{3\,} / \mathit{4\,} \) (4 балла).

Задание 11. Исследовать на сходимость несобственный интеграл $\displaystyle\int_{\mathit{3}}^{\mathit{4}} \dfrac{dx}{\sqrt[3]{x^3 - \mathit{27}}}\;\;$ (4 балла).

Задание 12. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

$\displaystyle\int_{\mathit{0\,}}^{\mathit{1\,}} \dfrac{\sin \sqrt{\mathrm{x}}}{\sqrt{\mathit{3\,}\left( \mathrm{x} + \mathit{1\,} \right)} - \mathit{1\,}} \, \mathrm{dx}$

Задание 13. Исследовать на сходимость несобственный интеграл $\displaystyle\int_{\mathit{2}}^{+\infty} \dfrac{\sqrt[3]{\mathrm{x}} \cdot \operatorname{arctg} \left( \dfrac{\mathit{1}}{\mathrm{x} + \mathit{1}} \right)}{\mathrm{x} - \mathit{1}} \, \mathrm{d} \mathrm{x}. \quad (4 \, балла)$

Задание 14. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

$\displaystyle\int_{\mathit{0\,}}^{\mathit{1\,}} \dfrac{e^{\sqrt[\mathit{3\,}]{\mathrm{x}}} - \mathit{1\,}}{\ln(\mathit{1\,} + \sqrt{\mathrm{x}^\mathit{3\,}})} \, \mathrm{dx}$

Задание 15. Исследовать на сходимость несобственный интеграл $\displaystyle\int_{\mathit{1}}^{+\infty} \operatorname{tg} \left( \dfrac{\mathit{1}}{\sqrt{\mathrm{x}}} \right) \left( \ln \left( \mathit{2} + \sqrt{\mathrm{x}} \right) - \dfrac{\mathit{1}}{\mathit{2}} \ln \, \mathrm{x} \right) \mathrm{d} \mathrm{x}. \quad (4 \, балла)$

Задание 16. Исследуйте на сходимость несобственный интеграл:

$\displaystyle\int_{\mathit{1\,}}^{+\infty} \left( \sqrt[\mathit{3\,}]{\mathit{1\,} + \dfrac{\mathit{1\,}}{\mathrm{x}^\mathit{3\,}}} - \mathit{1\,} \right) \sqrt{\mathrm{x}^\mathit{3\,}} \, \mathrm{dx}$

Задание 17. Исследовать на сходимость несобственный интеграл $\displaystyle\int_{\mathit{2\,}}^{+\infty} \dfrac{\mathit{2\,}^\frac{1}{\sqrt{x}} - \mathit{1}}{\sqrt[3]{x^2} - \sqrt{x} + \mathit{1}} dx$ (3 балла).