Дополнительная теоретическая справка для этих задач здесь

Задание 1. Найти площадь плоской фигуры, расположенной внутри кривых \( \mathrm{y} = \mathit{2\,}\mathrm{x} - \mathrm{x}^\mathit{2\,} + \mathit{3\,}, \, \mathrm{y} = \mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{4\,}\mathrm{x} + \mathit{3\,}. \)

Задание 2. Найти длину дуги кривой \( \mathrm{y} = \ln (\mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{1}), \quad \mathit{2} \leq \mathrm{x} \leq \mathit{3} \).

Задание 3. Найти площадь поверхности, полученной вращением вокруг оси \(Ox\) окружности $(x - \mathit{2})^2 + (y + \mathit{2})^2 = \mathit{1}\;\;$.

Задание 4. Найти длину дуги кривой \( y = \arcsin \sqrt{x} + \sqrt{x - x^2} \), \(\;\; \dfrac{\mathit{1}}{\mathit{9}} \leqslant x \leqslant \mathit{1\,} \) .

Задание 5. Найти длину дуги кривой \( \mathrm{y} = \dfrac{\mathrm{x}^\mathit{2}}{\mathit{4}} - \dfrac{\ln \mathrm{x}}{\mathit{2}}, \mathit{1} \leq \mathrm{x} \leq \mathit{2} \).

Задание 6. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси OX фигуры, ограниченной кривыми \( \mathrm{y} = (\mathrm{x} + \mathit{2\,})^\mathit{2\,} \), \( \mathrm{y}^\mathit{2\,} = \mathrm{x} + \mathit{2\,} \).

Задание 7. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси \( Oy \) фигуры, ограниченной кривыми \( \mathrm{y} = \ln \mathrm{x}, \quad \mathrm{y} = \mathit{0}, \quad \mathrm{x} = \mathit{2}. \)

Задание 8. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси \( \mathit{Oy} \) фигуры, ограниченной кривыми \( y = \dfrac{\mathit{1\,}}{x^2 ( \mathit{1\,} + \ln^2 x)} \), \( y = \mathit{0\,} \), \( x = \mathit{1\,} \), \( x = e \).

Задание 9. Вычислить определенный интеграл

$\displaystyle\int_{\mathit{0\,}}^{\pi / \mathit{12\,}} \dfrac{\sin ^\mathit{2\,} \mathit{3\,}\mathrm{x}}{\cos ^\mathit{6\,} \mathit{3\,}\mathrm{x}} \, \mathrm{d}\mathrm{x} \, .$

Подсказка: $\operatorname{tg}\mathrm{3x}\,= t$