Задание 1. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/3} \operatorname{tg}^2 x \, \mathrm{d} x \).

Задание 2. Вычислить определенный интеграл

\( \displaystyle\int_{\frac{\pi}{36}}^{\frac{\pi}{24}} \dfrac{\mathrm{d} x}{\cos^2 6x} \, . \)

Задание 3. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^3 \varphi \, \mathrm{d} \varphi \).

Задание 4. Вычислить определенный интеграл

\( \displaystyle\int_{1}^{3} \dfrac{\mathrm{d} x}{x^2 + x} \, . \)

Задание 5. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{1}^{3} \dfrac{\mathrm{d} x}{x^3 + x} \).

Задание 6. Вычислить определенный интеграл

\( \displaystyle\int_{3}^{5} \dfrac{x^2 + 5}{x - 2} \, \mathrm{d} x \, . \)

Задание 7. Вычислить определенный интеграл

\( \displaystyle\int_{1}^{3} \dfrac{\mathrm{d} x}{x^2 + 6x + 10} \, . \)

Задание 8. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{1}^{e^2} \dfrac{\ln^3 x}{3x} \, \mathrm{d} x \).

Задание 9. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{4 \arctan x - x}{1 + x^2} \, \mathrm{d} x \).

Задание 10. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{-1}^{0} \dfrac{3^x - 2^x}{6^x} \, \mathrm{d} x \).

Задание 11. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{\pi}^{2\pi} \dfrac{x + \cos x}{x^2 + 2 \sin x} \, \mathrm{d} x \).

Задание 12. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{\sin \ln x}{x} \, \mathrm{d} x \).

Задание 13. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x \, \mathrm{d} x}{\sqrt{x^4 + x^2 + 1}} \, . \)

Задание 14. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{1} 4x \arcsin x \, \mathrm{d} x \).

Задание 15. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{1} (\arcsin x)^2 \, \mathrm{d} x \).

Задание 16. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x \cos^2 x \, \mathrm{d} x \).

Задание 17. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{1} x^2 3^x \, \mathrm{d} x \).

Задание 18. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-4x} \, \mathrm{d} x \).

Задание 19. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^2} \, \mathrm{d} x \).

Задание 20. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{13}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{x \ln x} \, . \)

Задание 21. Вычислить определенный интеграл \( \displaystyle\int_{e^2}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{\ln x}} \, . \)

Задание 22. Исследовать на сходимость несобственный интеграл \( \displaystyle\int_{-\infty}^{0} \cos 3x \, \mathrm{d} x \).

Задание 23. Вычислить несобственный интеграл \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{1 + x^2} \, . \)

Задание 24. Найти значение или установить расходимость несобственного интеграла \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{x^2 + x} \, . \)

Задание 25. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{x + 2}{x^3 \sqrt{x^2}} \, \mathrm{d} x \).

Задание 26. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{x \, \mathrm{d} x}{\sqrt{x^6 + 2}} \, . \)

Задание 27. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-4x} \cos 2x \, \mathrm{d} x \).

Задание 28. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2 + 8}} \, . \)

Задание 29. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{x \arctan x}{\sqrt{2 + x^3}} \, \mathrm{d} x \).

Задание 30. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{3x + \sqrt{9 + x^2}}{\sqrt{x^2 + 2x + x^3}} \, \mathrm{d} x \).

Задание 31. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{-2}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{x^2 + \sqrt{x^4 + 2}} \, . \)

Задание 32. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{x + 2\sqrt{x + 1}}{x^2 + \sqrt{x^2 + 1}} \, \mathrm{d} x \).

Задание 33. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{\ln x}{x^3} \, \mathrm{d} x \).

Задание 34. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{(1 + x^2)^2} \, . \)

Задание 35. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{\sqrt{3}}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{1 + x^2} \, . \)

Задание 36. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1 + x^2}{1 + x^4} \, \mathrm{d} x \).

Задание 37. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{\ln x}{1 + x^2} \, \mathrm{d} x \).

Задание 38. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1 + x^2}{1 + x^4} \, \mathrm{d} x \).

Задание 39. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\ln x}{1 + x^2} \, \mathrm{d} x \).

Задание 40. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{x^3}{\sqrt{4 - x^2}} \, \mathrm{d} x \).

Задание 41. Исследовать на сходимость интеграл \( \displaystyle\int_{0}^{4} \dfrac{\cos x}{\sqrt{4 - x}} \, \mathrm{d} x \).

Задание 42. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость \( \displaystyle\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \dfrac{\mathrm{d} x}{1 + \cos x} \).

Задание 43. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость \( \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \tan x \, \mathrm{d} x \).

Задание 44. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость \( \displaystyle\int_{-1}^{2.5} \dfrac{\mathrm{d} x}{x^2 - 5x + 6} \).

Задание 45. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость \( \displaystyle\int_{-2}^{2} \dfrac{\mathrm{d} x}{x^2 - 1} \).

Задание 46. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость \( \displaystyle\int_{-\frac{1}{\ln 2}}^{0} \dfrac{e^{\frac{1}{x}} \, \mathrm{d} x}{x^3} \).

Задание 47. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость \( \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{\ln 2}} \dfrac{e^{\frac{1}{x}} \, \mathrm{d} x}{x^3} \).

Задание 48. Найти площади фигур, ограниченных линиями:

\( y = \sin x, \, y = 2 \sin x, \, x = 0, \, x = \dfrac{7\pi}{4}. \)

Задание 49. Найти площади фигур, ограниченных линиями:

\( y = x^2, \, y = \dfrac{1}{x^2}, \, y = 0, \, x = 0, \, x = 3. \)

Задание 50. Найти площади фигур, ограниченных линиями:

\( y^2 = 2x + 1, \, y = x - 1. \)

Задание 51. Найти площади фигур, ограниченных линиями:

\( y = -\dfrac{1}{2}x^2 + 3x + 6, \, y = \dfrac{1}{2}x^2 - x + 1. \)

Задание 52. Найти длины дуг кривых:

\( y = -x^2 + 2x \) от вершины до точки с абсциссой \( x = 2. \)

Задание 53. Найти длины дуг кривых:

\( y^2 = \dfrac{x^3}{6} \) до точки с абсциссой \( x = 6. \)

Задание 54. Найти длины дуг кривых:

\( y = \ln x \) от \( x = \sqrt{8} \) до \( x = \sqrt{15}. \)

Задание 55. Найти длины дуг кривых:

\( y = \dfrac{1}{2}x^2 - 4x + \dfrac{15}{2}, \) отсеченной осью \( Ox. \)

Задание 56. Найти длины дуг кривых:

\( \dfrac{3}{2}x = y^{\frac{3}{2}} \) от точки \( O(0; 0) \) до точки \( A(2\sqrt{3}; 3). \)

Задание 57. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями \( xy = 6, \, x = 1, \, x = 4, \, y = 0 \) вокруг оси \( Ox \) и вокруг оси \( Oy \).

Задание 58. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой \( x^2 = y + 2, \, y = 1 \) вокруг оси \( Oy \) .

Задание 59. Кривая вращается вокруг оси \( Ox \). Вычислить площадь поверхности вращения:

\( y^2 = 2x, \, x \in [0; 4] \) вокруг оси \( Ox \).

Задание 60. Кривая вращается вокруг оси. Вычислить площадь поверхности вращения:

\( y = \sin x, \, 0 \leqslant x \leqslant \pi \) вокруг оси. \( Ox \)