Задание 1. Дана матрица линейного оператора \(A_1\):

\[ A_1 = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \]

Найдите собственные значения и собственные векторы оператора \(A_1\).

Задание 2. Дана матрица линейного оператора \(A_2\):

\[ A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \]

Найдите собственные значения и собственные векторы оператора \(A_2\).

Задание 3. Проверьте, являются ли следующие два вектора линейно зависимыми:

\( \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 30 \end{bmatrix} \) и \( \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{bmatrix} \)

Задание 4. Проверьте, образуют ли следующие три вектора базис в пространстве \(\mathbb{R}^3\):

\( \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 7 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \), \( \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \), \( \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \)

Задание 5. Проверьте, образует ли тройка векторов \( \{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\}\) базис в пространстве \(\mathbb{R}^3\), и если да, найдите координаты \(\mathbf{a}_4\) в этом базисе:

\( \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \), \( \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \), \( \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \), \( \mathbf{a}_4 = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix} \)

Задание 6. Дан вектор \( \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} \). Будет ли он являться линейной комбинацией двух других векторов:

\( \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \) и \( \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)

Задание 7. Решите два неравенства:

\( |x-4|+|x+4|\leqslant x \)

\( |7-|x-5||\leqslant 3 \)

Задание 8. Даны множества \( C = \{1, 2, \{3\}, \varepsilon\} \) и \( D = \{3, 4, 5, 6, 7\} \). Найдите:

1. Пересечение множеств: \( C \cap D \)
2. Объединение множеств: \( C \cup D \)
3. Разность множеств: \( C \setminus D \)
4. Симметрическую разность: \( C \Delta D \)
5. Дополнение множества \( C \): \( C' \)
6. Дополнение множества \( D \): \( D' \)

Задание 9. Проверьте, какие из множеств из списка являются равными, а какие имеют одинаковую мощность: \( C = \{1, 2, \{3\}, \varepsilon\} \) и \( D = \{1, 2, 3\} \), \( F = \{1, 2, 3, 3, 3\}\), \( R = \{7, 2, 3\}\), \( K = \{1, 2, \{3\}\} \).

Задание 10. Проверьте, какие пары матриц из списка коммутативны по умножению:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \), \( С = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \).

Задание 11. Найдите ранги матриц:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \), \( С = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \), \( D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \), \( K = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \), \( T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \).