Признак Даламбера. Для положительного ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) рассматривается предел \( \displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. \) Если этот предел меньше 1, то ряд сходится; если больше 1, то ряд расходится; если равен 1, то признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда.

Признак Коши. Для положительного ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) рассматривается предел \( \displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}. \) Если этот предел меньше 1, то ряд сходится; если больше 1, то ряд расходится; если равен 1, то признак Коши не дает ответа о сходимости ряда.

Предельный признак сравнения. Даны два положительных ряда \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n \) и \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \). Необходимо определить, сходится ли ряд \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n \), используя предельный признак сравнения:

1. Если существует конечный положительный предел \( \displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = c \) и ряд \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \) сходится, то ряд \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n \) также сходится.
2. Если существует конечный положительный предел \( \displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = c \) и ряд \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \) расходится, то ряд \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n \) также расходится.

Задание 1. Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Указать \( \displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. \)

1. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^7}{5^{0,5n}}.\)
2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3^{n+1}}{2^n \cdot n^4}.\)
3. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^3}{n!}.\)
4. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(n+1)!}{5^n}.\)
5. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n!3^n}{n^n}.\)
6. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{n^2 \cdot 3^n}.\)

Задание 2. Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Коши. Указать \( \displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}. \)

1. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^n} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n^2}.\)
2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{n+1}{3n-1}\right)^{n-1}.\)
3. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{n}{3n+1}\right)^{2n+1}.\)
4. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\ln(n+1)^n}.\)
5. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} \left(\dfrac{2n-1}{3n+1}\right)^n.\)
6. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n^2}.\)

Задание 3. Исследовать ряд на сходимость, применяя предельный признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.

1. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n+2}{n^2+n+1}.\)
2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n \sqrt{n}+2}{\sqrt{n^6}+2n-2}.\)
3. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt[3]{n+10}}.\)

Задание 4. Можно ли утверждать, что ряд \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n \) сходится, если \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)?