Задание a. Найдите значение интеграла (задание, которое аналогично тому, что мы разбирали на занятии):

$ \displaystyle\int \dfrac{\sqrt[5]{\mathrm{x }} - \mathit{3\,} \sqrt[4]{\mathrm{x }^2\,} + \mathit{2\,}}{\mathit{4\,} \sqrt[5]{\mathrm{x }}} \, d\mathrm{x } $

Задание b. Найдите значение интеграла (задание, которое аналогично тому, что мы разбирали на занятии):

$ \displaystyle\int e^{\mathrm{\mathit{2\,}x }} \sin \mathrm{\mathit{4\,}x } \, d\mathrm{x } $

Задание с. Найдите значение интеграла (нужно доделать то, что мы разбирали на занятии):

$ \displaystyle\int \sqrt{\mathit{1\,} - \mathrm{x }^\mathit{2\,}} \, d\mathrm{x } $

Задание d. Найдите значение интеграла (нужно доделать то, что мы разбирали на занятии):

$ \displaystyle\int \mathrm{x } \cdot \operatorname{arcsin} (\mathrm{x }) \, d\mathrm{x } $

Задание 1. Вычислите несобственный интеграл \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\mathit{1\,}}{\mathrm{x }^3} \, d\mathrm{x } \).

Задание 2. Вычислите несобственный интеграл \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\mathrm{x }} \, d\mathrm{x } \).

Задание 3. Вычислите несобственный интеграл \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\mathit{1\,}}{\mathrm{x }^4} \, d\mathrm{x } \).

Задание 4. Попробуйте вычислить \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\mathit{1\,}}{\sqrt{\mathrm{x }}} \, d\mathrm{x } \). Сходится ли данный интеграл или нет?

Задание 5. Найдите неопределенный интеграл \( \displaystyle \int \dfrac{\mathit{1\,}}{\mathrm{x }^n} \, d\mathrm{x } \), где $n\ne 1$ - любое действительное число, кроме $1$.

Задание 6. Попробуйте вычислить \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\mathit{1\,}}{\mathrm{x }^n} \, d\mathrm{x } \). При каких $n$ данный интеграл сходится, а при каких $n$ расходится?

Задание 7. Вычислите несобственный интеграл \( \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\mathit{1\,}}{\sqrt[3]{\mathrm{x }}} \, d\mathrm{x } \).

Задание 8. Вычислите несобственный интеграл \( \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\mathit{1\,}}{\sqrt[4]{\mathrm{x }}} \, d\mathrm{x } \).

Задание 9. Попробуйте вычислить \( \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\mathit{1\,}}{\mathrm{x }^4} \, d\mathrm{x } \). Сходится ли данный интеграл или нет?

Задание 10. Попробуйте вычислить \( \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\mathit{1\,}}{\mathrm{x }^\alpha} \, d\mathrm{x } \). При каких значениях параметра $\alpha$ данный интеграл сходится, а при каких расходится?

Задание 11. Исследуйте несобственный интеграл на сходимость, попробовав его вычислить \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{x }}{\mathit{1\,} + \mathrm{x }^2} \, d\mathrm{x } \).

Задание 12. Вычислите \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\mathit{1\,}}{\mathit{1\,} + \mathrm{x }^2} \, d\mathrm{x } \).

Задание 13. Попробуйте вычислить \( \displaystyle \int_{-2}^{1} \dfrac{\mathit{1\,}}{\mathrm{x }^4} \, d\mathrm{x } \). Сходится ли данный интеграл или нет?

Задание 14. Попробуйте вычислить \( \displaystyle \int_{-2}^{1} \dfrac{\mathit{1\,}}{\sqrt[3]{\mathrm{x }}} \, d\mathrm{x } \). Сходится ли данный интеграл или нет?

Задание 15. Вычислить определенный интеграл \(\displaystyle\int_\mathit{1}^{\mathit{e}} \mathrm{x}^\mathit{2} \ln \mathrm{x} \, \mathrm{d} \mathrm{x}\).

Задание 16. Вычислить определенный интеграл

$\displaystyle\int_{\mathit{0\,}}^{\pi / \mathit{12\,}} \dfrac{\sin ^\mathit{2\,} \mathit{3\,}\mathrm{x}}{\cos ^\mathit{6\,} \mathit{3\,}\mathrm{x}} \, \mathrm{d}\mathrm{x} \, .$

Дополнительная теоретическая справка для решения остальных задач по ссылке здесь

Задание 17. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми \( y = \mathit{2} \sqrt{x} \), \( y = \sqrt{x + \mathit{3}} \) и \( x = \mathit{0} \).

Задание 18. Найти площадь поверхности, образованной при вращении вокруг оси \( Ox\) кривой \( \mathrm{y} = \sqrt{\mathrm{x}}, \quad \mathit{0 \leq x \leq 4}. \)

Задание 19. Найти площадь поверхности, полученной вращением вокруг оси \(Ox\) окружности $(x - \mathit{2})^2 + (y + \mathit{2})^2 = \mathit{1}\;\;$.

Задание 20. Найти площадь плоской фигуры, расположенной внутри кривых \( \mathrm{y} = \mathit{2\,}\mathrm{x} - \mathrm{x}^\mathit{2\,} + \mathit{3\,}, \, \mathrm{y} = \mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{4\,}\mathrm{x} + \mathit{3\,}. \)

Задание 21. Найти длину дуги кривой \( \mathrm{y} = \dfrac{\mathit{1\,}}{\mathit{2}} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{x}} + \mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \right) \), \(\mathit{0 \leq x \leq 1}\).

Задание 22. Найти длину дуги кривой \( \mathrm{y} = \ln (\mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{1}), \quad \mathit{2} \leq \mathrm{x} \leq \mathit{3} \).

Задание 23. Найти длину дуги кривой \( y = \arcsin \sqrt{x} + \sqrt{x - x^2} \), \(\;\; \dfrac{\mathit{1}}{\mathit{9}} \leqslant x \leqslant \mathit{1\,} \).

Задание 24. Найти длину дуги кривой \( \mathrm{y} = \dfrac{\mathrm{x}^\mathit{2}}{\mathit{4}} - \dfrac{\ln \mathrm{x}}{\mathit{2}}, \mathit{1} \leq \mathrm{x} \leq \mathit{2} \).

Задание 25. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси OX фигуры, ограниченной кривыми \( \mathrm{y} = (\mathrm{x} + \mathit{2\,})^\mathit{2\,} \), \( \mathrm{y}^\mathit{2\,} = \mathrm{x} + \mathit{2\,} \).

Задание 27. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси \( Oy \) фигуры, ограниченной кривыми \( \mathrm{y} = \ln \mathrm{x}, \quad \mathrm{y} = \mathit{0}, \quad \mathrm{x} = \mathit{2}. \quad \)

Задание 28. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси \( \mathit{Oy} \) фигуры, ограниченной кривыми \( y = \dfrac{\mathit{1\,}}{x^2 ( \mathit{1\,} + \ln^2 x)} \), \( y = \mathit{0\,} \), \( x = \mathit{1\,} \), \( x = e \).