Задание 1. При каких значениях параметра $\mathrm{k}$ система
\( \begin{cases} \mathrm{y} = \mathrm{k}({\mathrm{x}} - \mathit{4\,})+\mathrm{k} \\ \mathrm{x}^\mathit{2\,} + \mathrm{y}^\mathit{2\,} = \mathit{9\,} \end{cases} \)имеет хотя бы одно решение. Для ответа на этот вопрос воспользуйтесь вот этой иллюстрацией (используйте ползунок для изменения значений параметра $k$). Ответ округлите до десятых долей.
Задание 2. При каких значениях параметра $\mathrm{a}$ система
\( \begin{cases} \mathrm{y} = \mathrm{x}+\mathit{1\,} \\ (\mathrm{x}-\mathrm{a})^\mathit{2\,} + (\mathrm{y}+\mathit{4\,}\mathrm{a})^\mathit{2\,} = \mathit{4\,} \end{cases} \)имеет хотя бы одно решение. Для ответа на этот вопрос воспользуйтесь вот этой иллюстрацией (используйте ползунок для изменения значений параметра $k$). Ответ округлите до десятых долей.
Задание 3. При каких значениях параметра $\mathrm{a}$ система
\( \begin{cases} \mathrm{y} = \sqrt{\mathit{5\,} - \mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{4\,}\mathrm{x}} \\ \mathrm{y} = -\mathrm{a\,} \, (\mathrm{x} - \mathit{3\,}) \end{cases} \)
имеет хотя бы одно решение. Для ответа на этот вопрос воспользуйтесь вот этой иллюстрацией (используйте ползунок для изменения значений параметра $k$). Ответ округлите до десятых долей.
Задание 4. При каких значениях параметра \( \mathrm{a} \) уравнение \( \mathit{9\,}^{\mathrm{x}} + (\mathrm{a} + \mathit{2\,}) \cdot \mathit{3\,}^{\mathrm{x}} + \dfrac{\mathrm{a}}{\mathit{2\,}} + \mathit{3\,} = \mathit{0\,} \) имеет единственное решение.
Задание 5. При каких \( \mathrm{p} \) уравнение \( (\mathrm{p} - \mathit{10\,}) \cdot \mathit{5\,}^{\mathit{2\,}\mathrm{x} + \mathit{1\,}} + \mathit{2\,} \cdot \mathit{5\,}^{\mathrm{x} + \mathit{1\,}} + \mathrm{p} - \mathit{6\,} = \mathit{0\,} \) не имеет решений.
Задание 6. При каких \( \mathrm{p} \) уравнение \( \sin^\mathit{2\,}\mathrm{x} + \mathrm{p} \cdot \sin \mathrm{x} - \mathrm{p}^\mathit{2\,} + \mathit{1\,} = \mathit{0\,} \) имеет решения?
Задание 7. При каких значениях \( \mathrm{a} \) уравнение \( \mathit{9\,}^{\mathrm{x}} - \mathit{3\,}^{\mathrm{x} + \mathit{1\,}} + \mathit{3\,}\mathrm{a} - \mathrm{a}^\mathit{2\,} = \mathit{0\,} \) имеет два различных корня?
Задание 8. При каких значениях \( \mathrm{a} \) уравнение \( \cos \mathit{2\,}\mathrm{x} - \mathit{2\,}\cos \mathrm{x} - \mathit{2\,}\mathrm{a}^\mathit{2\,} + \mathit{2\,}\mathrm{a} + \mathit{1\,} = \mathit{0\,} \) не имеет решений?
Задание 9. a) Решите уравнение \(\sin 2x - \cos(\pi - x) = 0 \)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( \left[ -\dfrac{7\pi}{2} ; -2\pi \right] \).
Задание 10. Решите неравенство: \(\;\;3^x - 8 - \dfrac{2 \cdot 3^{x+1} - 19}{9^x - 5 \cdot 3^x + 6} \leqslant \dfrac{1}{3^x - 3} \).
Задание 11. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: