Задание 1. При каких значениях параметра \( \mathrm{a} \) неравенство \( \mathrm{a}\mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{4\,}\mathrm{x } + \mathit{3\,}\mathrm{a} + \mathit{1\,} > \mathit{0\,} \) выполняется при всех значениях \( \mathrm{x} > \mathit{0\,}\)?

Задание 2. Найти все \( \mathrm{a} \), при которых любое значение \( \mathrm{x} \), удовлетворяющее неравенству \( \mathrm{a}\mathrm{x}^\mathit{2\,} + \left( \mathit{1\,} - \mathrm{a}^\mathit{2\,}\right)\mathrm{x} - \mathrm{a} > \mathit{0\,} \), по модулю не превосходит двух.

Задание 3. При каких значениях \( \mathrm{a} \) неравенство \( \mathrm{a}(\mathrm{x} + \mathit{1\,})^\mathit{2\,} > \mathrm{x}^\mathit{2\,} + \mathit{3\,}\mathrm{x} + \mathit{3\,} \) выполнено хотя бы при одном значении \( \mathrm{x} < \mathit{1\,} \)?

Задание 4. Найти все значения \( \mathrm{a} \), при которых неравенство \( \mathit{6\,}\mathrm{a}\mathrm{x}^\mathit{2\,} + (\mathit{8\,}\mathrm{a} + \mathit{8\,})\mathrm{x} + \mathit{3\,}\mathrm{a} + \mathit{6\,} \leq \mathit{0\,} \):

• а) выполняется при всех \( \mathrm{x} \in (-\infty; -\mathit{1\,}] \);
• б) не выполняется ни для одного \( \mathrm{x} \in (-\infty; -\mathit{1\,}] \).

Задание 5. При каких значениях \( \mathrm{a} \) множеством решений неравенства \( \mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{2\,}\mathrm{a}\mathrm{x} - \mathit{3\,} \leq \mathit{0\,} \) будет отрезок длины \( \mathit{4\,} \)?

Задание 6. При каких значениях параметра \( \mathrm{a} \) уравнение \( \mathit{9\,}^{\mathrm{x}} + (\mathrm{a} + \mathit{2\,}) \cdot \mathit{3\,}^{\mathrm{x}} + \dfrac{\mathrm{a}}{\mathit{2\,}} + \mathit{3\,} = \mathit{0\,} \) имеет единственное решение.

Задание 7. При каких \( \mathrm{p} \) уравнение \( (\mathrm{p} - \mathit{10\,}) \cdot \mathit{5\,}^{\mathit{2\,}\mathrm{x} + \mathit{1\,}} + \mathit{2\,} \cdot \mathit{5\,}^{\mathrm{x} + \mathit{1\,}} + \mathrm{p} - \mathit{6\,} = \mathit{0\,} \) не имеет решений.

Задание 8. При каких \( \mathrm{p} \) уравнение \( \sin^\mathit{2\,}\mathrm{x} + \mathrm{p} \cdot \sin \mathrm{x} - \mathrm{p}^\mathit{2\,} + \mathit{1\,} = \mathit{0\,} \) имеет решения?

Задание 9. При каких значениях \( \mathrm{a} \) уравнение \( \mathit{9\,}^{\mathrm{x}} - \mathit{3\,}^{\mathrm{x} + \mathit{1\,}} + \mathit{3\,}\mathrm{a} - \mathrm{a}^\mathit{2\,} = \mathit{0\,} \) имеет два различных корня?

Задание 10. При каких значениях \( \mathrm{a} \) уравнение \( \cos \mathit{2\,}\mathrm{x} - \mathit{2\,}\cos \mathrm{x} - \mathit{2\,}\mathrm{a}^\mathit{2\,} + \mathit{2\,}\mathrm{a} + \mathit{1\,} = \mathit{0\,} \) не имеет решений?