Вспомогательные факты.

Вспомогательные факты, на которые нужно будет ссылаться при решении заданий с 2 по 11. Аксио́ма, или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства. Три аксиомы стереометрии А1,А2,А3:

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

A3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Условия заданий, которые нужно решить.

Задание 1. Постройте сечения, проходящие через три заданные точки, запишите по шагам построение.

Задание 2. Прямые \( \mathcal{TR} \) и \( \mathcal{FJ} \) пересекаются. Докажите, что прямые \( \mathcal{TF} \) и \( \mathcal{RJ} \) лежат в одной плоскости.

Задание 3. Центр \( \mathcal{O} \) и хорда \( \mathcal{TR} \) окружности лежат в некоторой плоскости. Лежит ли в этой плоскости любая точка данной окружности?

Задание 4. Сторона \( \mathcal{TF} \) и центр \( \mathcal{O} \) описанной окружности треугольника \( \mathcal{TRF} \) лежат в плоскости \( \alpha \). Лежит ли в этой плоскости вершина \( \mathcal{R} \)?

Задание 5. Прямые \( \mathrm{a} \) и \( \mathrm{b} \) пересекаются. Все ли прямые, пересекающие прямые \( \mathrm{a} \) и \( \mathrm{b} \), лежат в одной плоскости?

Задание 6. Даны прямая \( \mathrm{a} \) и точка \( \mathcal{T} \) вне её. Докажите, что все прямые, которые проходят через точку \( \mathcal{T} \) и пересекают прямую \( \mathrm{a} \), лежат в одной плоскости.

Задание 7. Прямые \( \mathrm{m} \) и \( \mathrm{n} \) пересекаются в точке \( \mathcal{T} \). Точка \( \mathcal{R} \) принадлежит прямой \( \mathrm{m} \), точка \( \mathcal{F} \) — прямой \( \mathrm{n} \), точка \( \mathcal{J} \) — прямой \( \mathcal{RF} \). Докажите, что прямые \( \mathrm{m} \) и \( \mathrm{n} \) и точка \( \mathcal{J} \) лежат в одной плоскости.

Задание 8. Две прямые пересекаются в точке \( \mathcal{M} \). Докажите, что все прямые, не проходящие через точку \( \mathcal{M} \) и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку \( \mathcal{M} \)?

Задание 9. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Задание 10. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости \( \alpha \). Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости \( \alpha \)? Ответ обоснуйте.

Задание 11. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит через одну из вершин треугольника?