Задание 1. Точка \( \mathcal{K} \) принадлежит грани \( \mathcal{BCD} \) тетраэдра \( \mathcal{DABC} \). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \( \mathcal{K} \), параллельно плоскости \( \mathcal{ABD} \).

Задание 2. Плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) параллельны. В плоскости \( \alpha \) выбраны точки \( \mathcal{C} \) и \( \mathcal{D} \), а в плоскости \( \beta \) — точки \( \mathcal{C}_1 \) и \( \mathcal{D}_1 \), такие, что прямые \( \mathcal{CC}_1 \) и \( \mathcal{DD}_1 \) параллельны. Найдите отрезки \( \mathcal{DD}_1 \) и \( \mathcal{C}_1\mathcal{D}_1 \), если \( \mathcal{CD} = 12 \, \text{см} \), \( \mathcal{CC}_1 = 4 \, \text{см} \).

Задание 3. Параллельные плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) пересекают сторону \( \mathcal{BA} \) угла \( \mathcal{ABC} \) в точках \( \mathcal{A}_1 \) и \( \mathcal{A}_2 \) соответственно, а сторону \( \mathcal{BC} \) — в точках \( \mathcal{C}_1 \) и \( \mathcal{C}_2 \) соответственно. Найдите:

• 1) отрезок \( \mathcal{A}_1\mathcal{C}_1 \), если \( \mathcal{A}_2\mathcal{C}_2 = 36 \, \text{см} \), \( \mathcal{BA}_1 : \mathcal{BA}_2 = 5 : 9 \);
• 2) отрезок \( \mathcal{C}_1\mathcal{C}_2 \), если \( \mathcal{A}_1\mathcal{C}_1 = 14 \, \text{см} \), \( \mathcal{A}_2\mathcal{C}_2 = 21 \, \text{см} \), \( \mathcal{BC} = 12 \, \text{см} \).

Задание 4. Точка \( \mathcal{M} \) — середина ребра \( \mathcal{CC}_1 \) куба \( \mathcal{ABCDA}_1\mathcal{B}_1\mathcal{C}_1\mathcal{D}_1 \). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \( \mathcal{M} \) и параллельной плоскости \( \mathcal{A}_1\mathcal{BC} \). Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно \( a \).

Задание 5. Прямая \( a \) и основание \( \mathcal{ABCD} \) прямоугольного параллелепипеда \( \mathcal{ABCDA}_1\mathcal{B}_1\mathcal{C}_1\mathcal{D}_1 \) лежат в плоскости \( \alpha \). На ребре \( \mathcal{AD} \) отметили точку \( \mathcal{E} \), на ребре \( \mathcal{CC}_1 \) — точку \( \mathcal{F} \). Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой \( a \) и проходящей через точки \( \mathcal{E} \) и \( \mathcal{F} \).

Задание 6. На ребре \( \mathcal{AD} \) и диагонали \( \mathcal{CA}_1 \) куба \( \mathcal{ABCDA}_1\mathcal{B}_1\mathcal{C}_1\mathcal{D}_1 \) отметили соответственно точки \( \mathcal{M} \) и \( \mathcal{N} \) так, что прямая \( \mathcal{MN} \) параллельна плоскости \( \mathcal{BC}_1\mathcal{D} \). Найдите отношение \( \mathcal{CN} : \mathcal{NA} \), если известно, что \( \mathcal{AM} : \mathcal{MD} = 1 : 4 \).

Задание 7. \( \mathcal{A}_1\mathcal{B}_1 \parallel \mathcal{A}_2\mathcal{B}_2 \parallel \mathcal{A}_3\mathcal{B}_3 \), \( \mathcal{B}_1\mathcal{B}_2 = 4 \, \text{см} \), \( \mathcal{B}_2\mathcal{B}_3 = 6 \, \text{см} \), \( \mathcal{A}_1\mathcal{A}_3 = 15 \, \text{см} \). Найдите отрезок \( \mathcal{A}_1\mathcal{A}_2 \).